Additionssätze der Trigonometrie
Berechnung von z1 · z2
Formal : Distributivgesetz
z1 · z2 = r1 · (cos α + i · sin α) · r2 · (cos β + i · sin β)
z1 · z2 = (r1 · cos α + r1 · i · sin α) · (r1 · cos β + r2 · i · sin β)
z1 · z2 = r1 · r1 · cos α · cos β + i · cos α · sin β + i · sin α · cos β - sin α · sin β
z1 · z2 = r1 · r1 · [(cos α + cos β - sin α · sin β) + i · (cos α · sin β + sin α · cos β) ]
reeller Teil imaginärer Teil
Koeffizientenvergleich
Rechenregel der Multiplikation :
z1 · z2 = r1 · r2 · [cos (α + β) + i sin (α + β)]reeller Teil imaginärer Teil
Folgerung:
(1.) cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
(2.) sin (α + β) = cos α · sin β + sin α · cos β
Daraus die Folgerung:
1. cos(2 · α) = 2 · cos2 α · cos2 α
cos(2 · α) = 1 - 2 α sin2 · α
cos(2 · α) = cos2 α · (1 - cos2 α) = 2 cos2 α - 1
2. sin(2 · α) = 2 · sin2 α · sin2 α
Pythagoras der Trigonometrie im Einheitskreis/-winkel
sin2 + cos2 α = 1
cos2 α = 1 - sin2 α
sin2 α = 1 - cos2 α