Bruchzahlen

Genau so, wie man als Grundschüler bei 4 - 10 "geht nicht" sagt, so sagt man auch zu 3 : 5 "geht nicht". Oder man sagt 3 : 5 = 0 Rest 3. Auch hier hat man sich geholfen und einfach die Bruchzahlen erfunden. Ein Bruch besteht aus Zähler und Nenner. In unserem Beispiel ist die 3 der Zähler und die 5 der Nenner.
Mit dem beliebten Kuchenbeispiel erklärt: Der Nenner sagt, in wie viele gleiche Teile ich den Kuchen teilen muss, und der Zähler sagt, wie viele Teile ich davon nehmen soll. 3/5 bedeutet: In 5 Teile teilen und 3 davon nehmen.

Echte und unechte Brüche
Statt für einen Bruch z.B. 3/2 zu schreiben, kann man auch sagen:
Bei 5/2 sind ja schonmal 4/2 enthalten, und 4/2 sind = 2. Dann habe ich 2 und noch ein halbes, also 2 1/2. Dies ist zu deuten als 2 + 1/2. Solche Brüche nennt man unechte Brüche.
Das Umrechnen ist nicht schwer: Habe ich einen unechten Bruch und will einen echten Bruch daraus machen, muss ich nur die Zahl vor dem Bruch (in unserem Beispiel die 2) mit dem Nenner des Bruches (hier 2) multiplizieren. Dazu addiere ich den Zähler und erhalte den Zähler des echten Bruches. Hier: 2 * 2 = 4. 4 + 1 = 5, also 2 1/2 = 5/2.
Umgekehrt teile ich (auf die Grundschulart, also mit Rest) den Zähler durch den Nenner. Im Beispiel erhält man: 5 : 2 = 2 Rest 1. Dann ist die 2 die Zahl vor dem Bruch und die 1 der neue Zähler.

Kürzen und Erweitern
Ein Bruch bedeutet ja bekanntlich nichts anderes als die Division des Zählers durch den Nenner. Wenn ich jetzt beispielsweise den Zähler und den Nenner gleichzeitig verdopple, so ändert sich der Wert des Bruches nicht. 3/2 ist das selbe wie 6/4. Denn durch das Verdoppeln des Zählers verdoppelt sich der Bruch, und durch das Verdoppeln des Nenners wird er wieder halbiert. Diesen Vorgang nennt man "Erweitern eines Bruches". Wenn ich zum Beispiel Zähler und Nenner mit 5 multipliziere, sagt man: Der Bruch wird mit 5 erweitert.
Andersherum geht es natürlich auch:
Teile ich Zähler und Nenner durch die selbe Zahl, ändert sich der Bruch nicht: 5/10 ist das selbe wie 1/2. Das Kürzen benutzt man, um einen Bruch nach einer Rechenoperation wieder zu vereinfachen.

Addieren von Brüchen
Will man Brüche addieren, muss man erst dafür sorgen, dass sie den gleichen Nenner haben. Danach addiert man einfach die Zähler und behält den Nenner bei:
3/10 + 5/10 = 8/10 = (gekürzt) 4/5
Nennergleich bekommt man die Brüche, in dem man sie erweitert:
3/10 + 2/5 = 3/10 + 4/10 = 7/10
2/7 + 3/8 = 16/56 + 21/56 = 37/56
Das Subtrahieren geht natürlich genau so.

Multiplizieren von Brüchen
Die Regel für das Multiplizieren von Brüchen lautet "Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner".
Beispiele:
3/4 * 2/5 = (3*2)/(4*5) = 6/20 = (gekürzt) 3/10
4 * 5/3 = (4*5)(1*3) = 20/3 = 5

Der Kehrwert
Den sogenannten Kehrwert eines Bruches erhält man, wenn man Zähler und Nenner eins Bruches vertauscht: Der Kehrwert von 3/4 ist 4/3, der Kehrwert von 10 ist 1/10 und so weiter.
Wenn man einen Bruch mit seinem Kehrwert multipliziert, erhält man immer 1. Denn:
a/b * b/a = (a*b)/(b*a) = ab/ab = 1.
Den Kehrwert benötigt man bei der...

Division von Brüchen
Die Regel zum Dividieren von Brüchen lautet: Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dessen Kehrwert multipliziert. Beispiel:
3/4 : 2/7 = 3/4 * 7/2 = 21/8.
10 : 5/6 = 10 * 6/5 = 60/5 = 12

Sonstiges

Da man durch die 0 nicht teilen darf ("Wie oft passt die 0 in die 100?" ist eine Frage, auf die es keine Antwort gibt...), dürfen Brüche keine 0 im Nenner enthalten. Und deshalb hat die 0 auch keinen Kehrwert.

Lernvideo & Mathe-Quiz von Matheretter

Brüche-Quiz
Inhalt: Mathe-Quiz von Matheretter;

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